今回は，3文字 $x,y,z$ を含む3次式の因数分解の問題です。
問題$(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3$ を因数分解せよ。
これは因数分解する式を見て，何かしらの工夫をして因数分解するんだろうなぁと思うでしょう。
でも，どのように工夫するのかが分からないのではないでしょうか。
ただ，$(x+y+z)^3$ を展開しようとしてもそれはそれで面倒。それに展開した後も $x$ に着目したとしても3次式ですからね。展開した後で茫然とした人もいるのでしょうが，展開する前に展開した後のことを考えないといけません。何も考えず，とりあえずできることをしていくというのでは，方針を立てる力をつけることはできないでしょう。
考え方
2通りの考え方があります。
1つは，$x$ に着目して，うまく展開して整理する。
もう1つは，次の因数分解公式を利用する。
\begin{align*}
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
\end{align*}
これについては，$(x+y+z)^3$ や $x^3+y^3+z^3$ を見たときには，この因数分解公式を利用することを考えるのが鉄則となります。
x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
\end{align*}
1つ目の考え方の解答
前の2項に対して，$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ の公式を適用します。
\begin{align*}
&(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \\[4pt]
&=(y+z)\{(x+y+z)^2+(x+y+z)x+x^2\}-(y^3+z^3) \\[4pt]
&=(y+z)\{3x^2+3(y+z)x+(y+z)^2\}-(y+z)(y^2-yz+z^2) \\[4pt]
&=(y+z)\{3x^2+3(y+z)x+(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)\} \\[4pt]
&=(y+z)\{3x^2+3(y+z)x+3yz\} \\[4pt]
&=3(y+z)\{x^2+(y+z)x+yz\} \\[4pt]
&=3(y+z)(x+y)(x+z) \\[4pt]
&=3(x+y)(y+z)(z+x)
\end{align*}
&(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \\[4pt]
&=(y+z)\{(x+y+z)^2+(x+y+z)x+x^2\}-(y^3+z^3) \\[4pt]
&=(y+z)\{3x^2+3(y+z)x+(y+z)^2\}-(y+z)(y^2-yz+z^2) \\[4pt]
&=(y+z)\{3x^2+3(y+z)x+(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)\} \\[4pt]
&=(y+z)\{3x^2+3(y+z)x+3yz\} \\[4pt]
&=3(y+z)\{x^2+(y+z)x+yz\} \\[4pt]
&=3(y+z)(x+y)(x+z) \\[4pt]
&=3(x+y)(y+z)(z+x)
\end{align*}
最後の式は「輪環の順」にしているだけなので，最後から2番目の式で止まっても正解です。
2つ目の考え方の解答
\begin{align*}
&(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \\[4pt]
&=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3-3xyz)-3xyz \\[4pt]
&=(x+y+z)^3-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz \\[4pt]
&=(x+y+z)\{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\}-3xyz \\[4pt]
&=(x+y+z)\{(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)-(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\}-3xyz \\[4pt]
&=(x+y+z)(3xy+3yz+3zx)-3xyz \\[4pt]
&=3\{x+(y+z)\}\{(y+z)x+yz\}-3xyz \\[4pt]
&=3\left((y+z)x^2+\{(y+z)^2+yz-yz\}x+(y+z)yz\right) \\[4pt]
&=3\{(y+z)x^2+(y+z)^2x+(y+z)yz\} \\[4pt]
&=3(y+z)\{x^2+(y+z)x+yz\} \\[4pt]
&=3(y+z)(x+y)(x+z) \\[4pt]
&=3(x+y)(y+z)(z+x)
\end{align*}
&(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \\[4pt]
&=(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3-3xyz)-3xyz \\[4pt]
&=(x+y+z)^3-(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)-3xyz \\[4pt]
&=(x+y+z)\{(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\}-3xyz \\[4pt]
&=(x+y+z)\{(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)-(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\}-3xyz \\[4pt]
&=(x+y+z)(3xy+3yz+3zx)-3xyz \\[4pt]
&=3\{x+(y+z)\}\{(y+z)x+yz\}-3xyz \\[4pt]
&=3\left((y+z)x^2+\{(y+z)^2+yz-yz\}x+(y+z)yz\right) \\[4pt]
&=3\{(y+z)x^2+(y+z)^2x+(y+z)yz\} \\[4pt]
&=3(y+z)\{x^2+(y+z)x+yz\} \\[4pt]
&=3(y+z)(x+y)(x+z) \\[4pt]
&=3(x+y)(y+z)(z+x)
\end{align*}
まとめ
全部バラバラにしてしまうと大変なので，展開するとしても，1つの文字に着目してうまく展開・整理しましょう。
