今回は約数の個数に関する問題を扱います。
単に公式を利用して，与えられた数の約数の個数を求めることができるだけでは，応用問題には全く対応できません。約数の個数を求める公式の意味を理解して，応用できる実力を身に付けましょう。
考え方
条件として与えられていることは次の2つのことです。
- 20の倍数である
- 正の約数が15個である
1つ目の条件から考えると，$k$ を整数として，$N=20k$ と表すことができて，この数の約数の個数を考えることになります。
しかし，約数の個数を数えるときには，素因数分解して考えるのが定石です。$N=20k$ とおいてしまうと，$k$ がどのように素因数分解できるかが分からないから，約数の個数を数えることができなくなります。
つまり，これは最初に考えなければならない条件は1つ目ではないということです。
それなら $k$ の素因数分解の形で場合分けするなりして，考えれば良いのでは？となるかもしれませんが，これは2つ目の条件から考えることと同じになります。
したがって，最初に考えるべきなのは2つ目の条件で，$N$ がどのような形で表されたときに約数が15個になるかということを考えなければなりません。
そこで次のポイントが重要になります。
$N=a^pb^qc^r$ の約数の個数は，$(p+1)(q+1)(r+1)$ である。
いまは，約数の個数が15なので，15を2以上の整数の積で表したときに，どのような表し方が存在するかを考えます。
例えば，そのまま15と考えた場合，$a$ を素数として，$N=a^{14}$ と表すことができます。$a$ が2であろうが，3であろうが，素数ならば，。確かに $a^{14}$ の約数の個数は，15個になります。
また，$15=3\times5$ と表すこともできるため，$N=a^2b^4$ と表すことができますね。
$N$ の形が決まったら，これが20の倍数になるような素数 $a,b$ を決めれば良いということになります。
解答
$15=3\times5$ より，$a,b$ を素数とすると，$N=a^{14}$ または $a^2b^4$ と表すことができる。
(i) $N=a^{14}$ のとき
$a$ は素数だから，$N$ が20の倍数にはならない。
(ii) $N=a^2b^4$ のとき
$20=2^2\times5$ より，$N$ が20の倍数であるとき，$(a,b)=(2,5),(5,2)$ となる。
$(a,b)=(2,5)$ のとき，$N=2^2\times5^4=2500$
$(a,b)=(5,2)$ のとき，$N=5^2\times2^4=400$
(i),(ii)より，求める整数 $N$ は，$N=400,2500$
まとめ
正の約数の個数が与えられた整数の表し方を身に付けましょう。
