【数学Ⅱ】多項式の除法に関する問題

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数学Ⅱの多項式の除法による余りを求める問題です。

問題多項式 $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $4x-5$,$x+2$ で割ると余りが $-4$ である。このとき $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。
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考え方

この問題で求めるものは3次式で割ったときの余りです。

余りの次数多項式を $n$ 次式で割った余りの次数は $n-1$ 以下である。ただし,$n$ は自然数とし,0次式は定数を意味するものとする。

このポイントにより,3次式で割ったときの余りの次数は2以下となります。つまり,余りは2次式,1次式,定数のいずれかということです。これより $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると,

\begin{align*}
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c
\end{align*}
と表せるということです。

ここで,未知数は $a,b,c$ の3文字だから,これらを決定するためには3本の方程式を立てなければなりません。しかし,問題文には,2つの条件しかありません。

  • $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $4x-5$
  • $P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが $-4$

2番目の条件からは,剰余の定理を利用することで,$P(-2)=-4$ となります。これで1つの方程式を立てることができます。

最初の条件について,$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると,

\begin{align*}
P(x)=(x-1)^2Q_1(x)+4x-5
\end{align*}
と表すことができます。

易しい問題では,割る式が $(x-1)(x-2)$ のように異なる2つの $x$ の値に対して0になる式になっています。しかし,今回のように2乗になっていると,1つの $x$ の値しか代入することができません。そのため,方程式が1つしか得られないと思ってしまうんですね。

なんとかして2本の方程式を立てなければなりません。そこにこの問題の難しさがあります。

この処理の仕方には,2通りの方法があります。その両方の解法を紹介しておきます。

解答

$P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると,

\begin{align*}
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c~\cdots\cdots ①
\end{align*}
と表せる。

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると,

\begin{align*}
P(x)=(x-1)^2Q_1(x)+4x-5~\cdots\cdots ②
\end{align*}
と表せるから,$x=1$ を代入すると
\begin{align*}
P(1)=-1
\end{align*}
となる。①より
\begin{align*}
a+b+c=-1~\cdots\cdots ③
\end{align*}
また,$P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが $-4$ であるから,$P(-2)=-4$ が成り立つ。①に $x=-2$ を代入すると
\begin{align*}
4a-2b+c=-4~\cdots\cdots ④
\end{align*}
$ax^2+bx+c$ を $(x-1)^2$ で割ると,商が $a$ で,余りが $(2a+b)x-a+c$ となり,
\begin{align*}
ax^2+bx+c=a(x-1)^2+(2a+b)x-a+c
\end{align*}
と表せるから,①より
\begin{align*}
P(x)&=(x-1)^2(x+2)Q(x)+a(x-1)^2+(2a+b)x-a+c \\
&=(x-1)^2\{(x+2)Q(x)+a\}+(2a+b)x-a+c
\end{align*}
となる。これは,$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $(2a+b)x-a+c$ であることを表しているから,②より
\begin{align*}
\begin{cases}
2a+b=4 & \cdots\cdots ⑤ \\
-a+c=-5 & \cdots\cdots ⑥
\end{cases}
\end{align*}
③,④,⑤,⑥より,$a=1,b=2,c=-4$

よって,求める余りは $x^2+2x-4$

補足$a,b,c$ の文字3つに対して,方程式が4本になっていますが,$⑤-③$ が⑥と同じなので,方程式は実質3本です。正しいものを多く出す分には問題はありません。

別解

④までは同じです。

①の両辺を $x$ で微分すると

\begin{align*}
P'(x)=2(x-1)(x+1)Q(x)+(x-1)^2\{Q(x)+(x+2)Q'(x)\}+2ax+b
\end{align*}
となるから,$P'(1)=2a+b$ が成り立つ。

②の両辺を $x$ で微分すると

\begin{align*}
P'(x)=2(x-1)Q_1(x)+(x-1)^2{Q_1}'(x)+4
\end{align*}
となるから $P'(1)=4$ が成り立つ。
よって,$2a+b=4$

これで⑤を出すことができたのであとは同じです。

まとめ

今回の問題のように2乗の式で割っている場合,次の2通りの処理の仕方があることを覚えておきましょう。

  • 余りをさらに割る。
  • 微分する。
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