【数学A】6の倍数であることの証明

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今回は証明問題を扱います。

ある数の倍数であることの証明は,中学校でも学習しますが,大学入試で出題される場合は,当然ですが,中学生よりレベルの高い知識を持っていることが重要となります。

知識を増やすことで解きやすくなるでしょう。

問題$n$ を整数とするとき,$2n^3+9n^2+7n$ は6の倍数であることを証明せよ。
よくある考え方としては,「偶奇で場合分け」や「3で割った余りで場合分け」というものがあります。しかし,今回は別の方法で解説します。
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考え方

まずは次のことが当たり前だと思えるようにしましょう。

連続する3つの整数の積連続する3つの整数の積は6の倍数である。

簡単に証明しておきます。

【証明】
連続する3つの整数のうち,1つは偶数で,1つは3の倍数であるから,連続する3つの整数の積は偶数かつ3の倍数,すなわち6の倍数である。

今回の問題では,まず因数分解すると次のようになります。

\begin{align*}
2n^3+9n^2+7n&=n(2n^2+9n+7) \\[4pt]&=n(n+1)(2n+7)
\end{align*}
$n(n+1)$ が連続する2つの整数の積で偶数だから,与えられた式が偶数であることが分かります。

あとは,$2n+7$ の部分をうまく変形することで,連続する3つの整数の積を作ります。具体的な作り方としては次の画像のようになります。

6の倍数であることの証明

変形方法を2通り書いていますが,今回は右側に書いた方法の方がスッキリしていますね。

解答

与えられた式は,次のように変形できる。

\begin{align*}
2n^3+9n^2+7n&=n(2n^2+9n+7) \\[4pt]&=n(n+1)(2n+7) \\[4pt]&=n(n+1)\{2(n+2)+3\} \\[4pt]&=2n(n+1)(n+2)+3n(n+1)
\end{align*}
ここで,$n(n+1)(n+2)$ は連続する3つの整数の積だから6の倍数である。また,$n(n+1)$ は連続する2つの整数の積で偶数であるから,$3n(n+1)$ は6の倍数である。
したがって,$2n^3+9n^2+7n$ は6の倍数である。

まとめ

ある数の倍数であることを証明する問題では,連続する整数の積を作るように変形することで,場合分けをすることなく証明できる場合があります。

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