【数学Ⅱ】多項式の除法に関する問題

数学Ⅱの多項式の除法による余りを求める問題です。

問題多項式 $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $4x-5$，$x+2$ で割ると余りが $-4$ である。このとき $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

考え方
解答
別解
まとめ

考え方

この問題で求めるものは3次式で割ったときの余りです。

余りの次数多項式を $n$ 次式で割った余りの次数は $n-1$ 以下である。ただし，$n$ は自然数とし，0次式は定数を意味するものとする。

このポイントにより，3次式で割ったときの余りの次数は2以下となります。つまり，余りは2次式，1次式，定数のいずれかということです。これより $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると，

\begin{align*}
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c
\end{align*}

と表せるということです。

ここで，未知数は $a,b,c$ の3文字だから，これらを決定するためには3本の方程式を立てなければなりません。しかし，問題文には，2つの条件しかありません。

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $4x-5$
$P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが $-4$

2番目の条件からは，剰余の定理を利用することで，$P(-2)=-4$ となります。これで1つの方程式を立てることができます。

最初の条件について，$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると，

\begin{align*}
P(x)=(x-1)^2Q_1(x)+4x-5
\end{align*}

と表すことができます。

易しい問題では，割る式が $(x-1)(x-2)$ のように異なる2つの $x$ の値に対して0になる式になっています。しかし，今回のように2乗になっていると，1つの $x$ の値しか代入することができません。そのため，方程式が1つしか得られないと思ってしまうんですね。

なんとかして2本の方程式を立てなければなりません。そこにこの問題の難しさがあります。

この処理の仕方には，2通りの方法があります。その両方の解法を紹介しておきます。

解答

$P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると，

\begin{align*}
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c~\cdots\cdots ①
\end{align*}

と表せる。

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とすると，

\begin{align*}
P(x)=(x-1)^2Q_1(x)+4x-5~\cdots\cdots ②
\end{align*}

と表せるから，$x=1$ を代入すると

\begin{align*}
P(1)=-1
\end{align*}

となる。①より

\begin{align*}
a+b+c=-1~\cdots\cdots ③
\end{align*}

また，$P(x)$ を $x+2$ で割ると余りが $-4$ であるから，$P(-2)=-4$ が成り立つ。①に $x=-2$ を代入すると

\begin{align*}
4a-2b+c=-4~\cdots\cdots ④
\end{align*}

$ax^2+bx+c$ を $(x-1)^2$ で割ると，商が $a$ で，余りが $(2a+b)x-a+c$ となり，

\begin{align*}
ax^2+bx+c=a(x-1)^2+(2a+b)x-a+c
\end{align*}

と表せるから，①より

\begin{align*}
P(x)&=(x-1)^2(x+2)Q(x)+a(x-1)^2+(2a+b)x-a+c \\
&=(x-1)^2\{(x+2)Q(x)+a\}+(2a+b)x-a+c
\end{align*}

となる。これは，$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $(2a+b)x-a+c$ であることを表しているから，②より

\begin{align*}
\begin{cases}
2a+b=4 & \cdots\cdots ⑤ \\
-a+c=-5 & \cdots\cdots ⑥
\end{cases}
\end{align*}

③，④，⑤，⑥より，$a=1,b=2,c=-4$

よって，求める余りは $x^2+2x-4$

補足$a,b,c$ の文字3つに対して，方程式が4本になっていますが，$⑤-③$ が⑥と同じなので，方程式は実質3本です。正しいものを多く出す分には問題はありません。

別解

④までは同じです。

①の両辺を $x$ で微分すると

\begin{align*}
P'(x)=2(x-1)(x+1)Q(x)+(x-1)^2\{Q(x)+(x+2)Q'(x)\}+2ax+b
\end{align*}

となるから，$P'(1)=2a+b$ が成り立つ。

②の両辺を $x$ で微分すると

\begin{align*}
P'(x)=2(x-1)Q_1(x)+(x-1)^2{Q_1}'(x)+4
\end{align*}

となるから $P'(1)=4$ が成り立つ。
よって，$2a+b=4$

これで⑤を出すことができたのであとは同じです。

まとめ

今回の問題のように2乗の式で割っている場合，次の2通りの処理の仕方があることを覚えておきましょう。

余りをさらに割る。
微分する。