数学Ⅲのド・モアブルの定理に関する問題です。
いきなり「ド・モアブルの定理に関する問題」と書いてますが，実はこれは難しいことです。問題を見たときに，これはどの分野で考えるのか，すぐに判断できる能力を身に付けることはかなり重要です。
見た瞬間に，「これは数列だ」とか「これは確率だ」とすぐに分かる単元はそれほど苦労しません。しかし，今回のように複素数の累乗を目にした時には，単純に複素数を何回も掛けていくのかと捉えてしまうと大変なことになります。
基本的に複素数の累乗を見たときには，複素数平面で学習するド・モアブルの定理が利用できないかなと考えるようにして下さい。
それでは問題です。
問題$(1+i)^m=(1+\sqrt3i)^n$ かつ $m+n\leqq100$ を満たす組 $(m,n)$ をすべて求めよ。
考え方
最初に書いたのと重複しますが，複素数の累乗を見たときは「ド・モアブルの定理」を利用することを意識しましょう。
ド・モアブルの定理$(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$
また，
\begin{align*}
r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)
\end{align*}
が成り立つとき，r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)
\end{align*}
\begin{align*}
r_1=r_2~かつ~\theta_1=\theta_2+2k\pi~(k:整数)
\end{align*}
となる。r_1=r_2~かつ~\theta_1=\theta_2+2k\pi~(k:整数)
\end{align*}
解答
\begin{align*}
\begin{cases}
1+i=\sqrt{2}\left(\polar{\dfrac{\pi}{4}}\right) \\[4pt]
1+\sqrt{3}i=2\left(\polar{\dfrac{\pi}{3}}\right)
\end{cases}
\end{align*}
であるから，$(1+i)^m=(1+\sqrt3i)^n$より，\begin{cases}
1+i=\sqrt{2}\left(\polar{\dfrac{\pi}{4}}\right) \\[4pt]
1+\sqrt{3}i=2\left(\polar{\dfrac{\pi}{3}}\right)
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
&(\sqrt{2})^m\left(\polar{\dfrac{\pi}{4}}\right)^m=2^n\left(\polar{\dfrac{\pi}{3}}\right)^n \\[4pt]
&(\sqrt{2})^m\left(\polar{\dfrac{m}{4}\pi}\right)=2^n\left(\polar{\dfrac{n}{3}\pi}\right)
\end{align*}
よって，&(\sqrt{2})^m\left(\polar{\dfrac{\pi}{4}}\right)^m=2^n\left(\polar{\dfrac{\pi}{3}}\right)^n \\[4pt]
&(\sqrt{2})^m\left(\polar{\dfrac{m}{4}\pi}\right)=2^n\left(\polar{\dfrac{n}{3}\pi}\right)
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
(\sqrt{2})^m=2^n & \cdots\cdots ① \\[4pt]
\dfrac{m}{4}\pi=\dfrac{n}{3}\pi+2k\pi~(k:整数) & \cdots\cdots ②
\end{cases}
\end{align*}
①より\begin{cases}
(\sqrt{2})^m=2^n & \cdots\cdots ① \\[4pt]
\dfrac{m}{4}\pi=\dfrac{n}{3}\pi+2k\pi~(k:整数) & \cdots\cdots ②
\end{cases}
\end{align*}
\begin{align*}
&(\sqrt{2})^m=(\sqrt{2})^{2n} \\[4pt]
&m=2n \cdots\cdots ③
\end{align*}
②，③より&(\sqrt{2})^m=(\sqrt{2})^{2n} \\[4pt]
&m=2n \cdots\cdots ③
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{n}{2}=\dfrac{\pi}{3}+2k \\[4pt]
&n=12k \cdots\cdots ④
\end{align*}
③，④より，$m=24k \cdots\cdots ⑤$
&\dfrac{n}{2}=\dfrac{\pi}{3}+2k \\[4pt]
&n=12k \cdots\cdots ④
\end{align*}
④，⑤を $m+n\leqq100$ に代入して
\begin{align*}
&24k+12k\leqq100 \\[4pt]
&k\leqq\dfrac{100}{36}=\dfrac{25}{9}
\end{align*}
$m,n$ は自然数で，$k$ は整数だから，$k=1,2$
&24k+12k\leqq100 \\[4pt]
&k\leqq\dfrac{100}{36}=\dfrac{25}{9}
\end{align*}
よって，$(m,n)=(24,12),(48,24)$
